PROBLEMA

PROBLEMA: RAZONAR

 

 

El razonamiento según Piaget (1959) surge primero como una búsqueda adaptativa con características desinteresadas en el niño y como razonamiento simbólico mediante imágenes de acuerdo a sus deseos posteriormente.

Los primeros razonamientos pueden observarse ya desde el período sensorio-motor, donde el objetivo es alcanzar metas a través de los medios disponibles. Después, el razonamiento se realiza por medio de la evocación de imágenes y palabras sobre los objetos y posteriormente va más allá de la percepción real deformándola de acuerdo a sus deseos en el juego simbólico o de imaginación.

El desarrollo del razonamiento transcurre del razonamiento práctico al razonamiento propiamente lógico, donde la asimilación se centra en los elementos particulares de interés para el niño (sensorio-motor), en la imagen imitativa centralizada en el pensamiento (preoperatorio) y en el equilibrio por una extensión de la acomodación hacia el pensamiento operatorio.

Vigotsky por su parte, refiere que la resolución de problemas constituye uno de los modelos de proceso mental complejo.

Un problema se conforma dentro de una estructura psicológica de la siguiente manera:

  1. Se inicia a partir de datos.
  2. Del análisis de datos.
  3. Establecimiento de relaciones entre datos.
  4. Depuración de información.
  5. La elaboración de una estrategia particular acorde al problema.

Bajo este marco, la elección y la toma de decisiones son determinantes, pues ellos facilitan la orientación del problema hacia posibles soluciones.

El razonamiento en la solución de problemas posee la característica de realizarse dentro de un sistema lógico determinado por las condiciones propias del problema que alcanzan su máximo nivel en las operaciones lógico-verbales, siempre y cuando esto ocurra al interior de un sistema lógico-cerrado. Esto quiere decir que cualquier reflexión o asociación fuera del contexto no conduce a su solución y si en cambio la determinación de los datos formales.

La base sobre la cual se rige la solución de problemas, se encuentra en el adecuado desarrollo de procesos psicológicos; tales como: la memoria, la atención, el lenguaje y el pensamiento.

Para Skinner (1979) la resolución de problemas ;se caracteriza por un cambio de otra parte de la conducta, la cual es fortalecida cuando se presenta;. Esto se da en dos estapas:

  1. El enfrentamiento a un problema.
  2. El requerimiento de un cambio.

La conducta que produce el cambio se llama solución de problemas y la respuesta que promueve se llama solución.

El hombre resuelve problemas a través de la autocreación de estímulos externos, (estímulos discriminativos) que facilitan las respuestas adecuadas, al mismo tiempo que sirven como reforzador de respuestas anteriores.

La creación de estímulos es de suma importancia, en tanto no sólo sirve al sujeto que los utilizó, sino que estos sirven a otros en situaciones similares.

Cabe mencionar que la construcción de estímulos externos (cambios privados), en tanto son manipulados por el hombre, lo preparan a responder automáticamente a ellos (autoregulación, mediante construcciones verbales convertida en propiedad pública).

La conducta de resolver problemas dentro de una cultura puede ser transmitida a otros, preparando a un miembro a responder efectivamente y esto es manifiesto en el establecimiento de reglas dentro de un grupo social.

La resolución a un problema, bien puede ser moldeada por contingencias o gobernados por reglas.

La conducta moldeada por contingencias se entiende cuando un organismo se comporta de cierta forma con una posibilidad dada, debido a que la conducta ha sido seguida por un tipo de consecuencias en el pasado.

Mientras que la conducta gobernada por reglas, consiste en normas establecidas socialmente que permiten orden en su ejecución y simplemente son llevadas a cabo.

6. ERRORES Y DIFICULTADES

El conocimiento de las dificultades y errores más frecuentes constituye una faceta preventiva de gran ayuda en la enseñanza de antemano se puede estar preparado para internar evitar u organizar algunos escollos que, probablemente, tendrá el alumno.

Las dificultades constatadas parecen debidas a la existencia de obstáculos cognitivos como:

- El paso de las estructuras aditivas a las multiplicativas.

- El reconocimiento de la bidimensionalidad de las superficies.

- La noción de equivalencia que fundamenta la medida de formas no pavimentables.

- Errores y dificultades atribuibles a la metodología tradicional relativos a la medida (uso
   erróneo de los sentidos, uso de instrumentos inadecuados, resolución de problemas que
   contienen datos erróneos o no reales, carencia de estrategias para hacer medidas de objetos
   comunes).

Así, las dificultades y errores más frecuentes que aparecen en diferentes investigaciones acerca del tópico área son:

- Confusión de perímetro-area.

- Conservación del área.

- Dificultades y errores de medida.

- Uso erróneo de los sentidos.

- Uso de instrumentos inadecuados.

- Resolución de problemas que contiene datos erróneos o no reales.

- Abuso de la exactitud en las medidas.

- Carencia de estrategias para efectuar medidas de objetos comunes.
 
 

Confusión perímetro-área

Éste es un error bastante frecuente.

En algunos casos, los niños calculan el área y el perímetro de una figura y la asignan el dato mayor al área y el menor al perímetro.

En una investigación llevada a cabo por Wagman en 1982, se constató que un tercio de los sujetos que intervinieron en él , confundía el área con el perímetro.

La frecuencia con la que se presenta este error se puede entender si revisamos la metodología que generalmente se utiliza. A los niños se les presentas las mismas actividades, basadas en dibujos que se presentan para determinar el área y el perímetro.

Lo general es que no se hayan realizado actividades de recorte, pegado, coloreado, hilos, etc.ç que hayan puesto de manifiesto las diferencias entre los dos conceptos.

El hecho de que dos figuras tengan la misma área induce a algunos niños a creer que tienen el mismo perímetro.
 

Algunas de las actividades que propone M.A. del Olmo (1993) para distinguir el área del perímetro son:

·  Facilitar ejemplos de figuras que a pesar de dimensiones engañosas, tengan la misma área (tales como paralelogramos de la misma base y altura).

·  Facilitar ejemplos de figuras que a pesar de engañosas coincidencias en sus dimensiones lineales, tengan distinta área (como el rombo obtenido por flexión del cuadrado).

Estas dos ideas se pueden trabajar con mecanos.

·  Trabajo con cuerda. Con una cuerda de una longitud dada (fija), construir diferentes figuras (perímetro constante).

·  Trabajo con cuadrados y triángulos de cartulina. Con un número fijo de cuadrados o triángulos, construir diferentes polígonos (área constante).

·  Clasificar los pentaminós, los tetrahexos, los hexadiamantes..., por su perímetro.

·  Comparar diversas figuras construidas con poliminós, tetrahexos, etc., respecto de su área y su perímetro.

·  Considerar o proyectar la construcción de jardines de distintas formas con igual cantidad de valla.

Conservación del área

Dentro de las dificultades del concepto de área se encuentra el concepto de la conservación.

Las investigaciones llevadas a cabo por D Hart (1984), con alumnos de secundaria (doce, trece y catorce años), permiten reconocer que las cuestiones relacionadas con la conservación del área no los dominan más de la cuarta parte de los alumnos.

Dificultades y errores de medida

En el estudio de Hart se citan también las siguientes dificultades:

·  Que las figuras sean más complicadas que el rectángulo: Esta es la figura más fácil de medir. El 87% de la población lo realiza midiendo con cm , embaldosando o con la fórmula. Si la figura no es un rectángulo, los resultados bajan a un 15%.

·  Que las figuras no aparezcan pavimentadas: Si se tiene la figura "rellena" con las unidades, se tiende a contar, mientras que si eso no sucede, se tiende a aplicar la fórmula.

·  La proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad de medida y la figura: Si la unidad de medida pasa de ser el cm2 a una pequeña baldosa de 0.5 cm ´ 0.5 cm, el 60% de los niños de cada edad dobla la respuesta que obtuvieron al usar el cm2.

·  El contar unidades no enteras: Contar cuadrados enteros y mitades resulta fácil (80% éxito); la tarea se complica si aparecen cuartos de cuadrados, ya que el porcentaje de éxito baja al 57%).

En el citado estudio de Hart se propone la siguiente actividad:

Dado un rectángulo dibujado sobre papel se facilita una nueva línea de base y se pide dibujar otro rectángulo con un área de igual al anterior.

Si la nueva línea es entera, lo realizan un 60%, y sólo un 20% si es fraccionaria.


Errores atribuidos a la metodología tradicional relativos a la medida.

1. Uso erróneo de los sentidos:

Para la atribución de conceptos como longitud, área, volumen... es imprescindible la base sensorial.

Muchos autores, como M.A. del Olmo, señalan que el primer paso en el proceso de medida de una magnitud comience por la percepción de la cualidad que se va a medir.

En la enseñanza tradicional, el uso de los sentidos es considerado un lujo o una pérdida de tiempo.

Algunas actividades que permiten iniciar al niño en el descubrimiento de la cualidad área, basados en el uso del sentido de la vista son:


2. Uso de instrumentos inadecuados:

Una mala apreciación sensorial hace elegir a veces un instrumento inadecuado.

En otras ocasiones, el reducir los instrumentos de medida a los convencionales hace que la elección sea poco afortunada por ejemplo, usar la regla para medir la longitud de una curva.
 
 

Resolución de problemas que contienen datos erróneos o no reales

Con frecuencia se proponen al escolar enunciados que contienen datos que atentan contra el sentido común; por ejemplo, 500 campesinos que aran simultáneamente un terreno de 4m2.

Esto puede dificultar la autocorrección, pues se habitúa al alumno a resolver problemas cuyo resultado es irreal.
 
 

Carencias de estrategias para efectuar medidas de objetos comunes

Lo habitual en los problemas de medida de áreas es hallar la superficie de terrenos de forma regular, de manera que cuando en la realidad se trata de calcular el área de una superficie que no se pueda obtener a partir de la aplicación de una fórmula inmediata, el estudiante no dispone de los medios para resolver el problema.
 
 

Abuso en la exactitud en las medidas

Se confunde muy a menudo la medida entera con la medida exacta y se acostumbra a oír que una medida no es exacta porque da; por ejemplo, 6.5 m2, entendiéndose por medidas exactas las de tipo entero.

Carencias en el uso de estrategias de estimación de áreas.

Pensar que las medidas indirectas son las medidas reales y no valorar las medidas directas

El alumno tiene una tendencia a rechazar las aproximaciones como soluciones válidas a los problemas, tal vez por la creencia de que las matemáticas son "exactas". Sin embargo, numerosos autores señalan la importancia de desarrollar estrategias de estimación en el alumno.

La resolución de problemas de matemáticas en primaria

Una de las mayores dificultades con las que se encuentra un alumno de educación primaria, cuando inicia el proceso de resolución de problemas matemáticos, es el aprendizaje del método a utilizar. Se presupone que el alumno ya conoce la suma, resta, multiplicación y división. La tendencia habitual, por parte del estudiante, es preguntar, después de leer el enunciado del problema, si es de sumar, o de restar, o de...

Para iniciar al alumno en el proceso de resolución hay que obligarle a realizar los pasos siguientes:

a) Lectura comprensiva del problema.
Es, tal vez, una de las fases más complicadas. Las dificultades de aprendizaje en lengua (vocabulario pobre, reducida capacidad de expresión...), hacen que muchos niños no entiendan el enunciado del problema. Existe además la costumbre de no leer el texto completo.
El profesor debe obligar al alumnado a que lea y trate de entender el enunciado (es normal que lo lea más de una vez). Para ello debe comprobar que el estudiante sabe perfectamente lo que el problema dice y lo que pregunta. Sin mirar el texto, el alumno explicará al profesor el enunciado del problema.

b) Señalización de datos.
En el cuaderno en que va a resolverlo, el alumno debe señalar de forma esquemática, utilizando el letrero DATOS, la información, generalmente en forma de números, que le da el problema.

c) Especificación de preguntas.
Debe indicar también, en un apartado denominado PREGUNTAS, lo que tiene que averiguar respetando el enunciado.

d) Presentación.
Las operaciones necesarias para la resolución deben escribirse indicadas.

e) Operaciones.
Siempre que no sea posible el cálculo mental, el alumno debe poner resueltas todas las operaciones que necesita.

Un ejemplo

Juanito va de compras con su madre. Llevan un billete de 5.000 ptas. En la frutería compran 3 kg de naranjas a 280 ptas el kg. En la carnicería les sirven un kg de filetes por 1.850 ptas. Compran en una librería tres revistas del corazón a 250 ptas cada una. ¿Cuánto gastaron en la frutería? ¿Y en la librería? ¿Cuánto dinero les sobró?

DATOS:

5.000 ptas para comprar
3 kg naranjas a 280 ptas/kg
1 kg filetes por 1.850 ptas
3 revistas a 250 ptas/unidad

PREGUNTAS:

¿Gasto en frutería?
¿Gasto en librería?
¿Dinero sobró?

PRESENTACIÓN:

280x3 = 840 ptas frutería
250x3 = 750 ptas librería
840 + 1.850 + 750 = 3.440 ptas
5.000 - 3.440 = 1.560 ptas sobran

OPERACIONES:

280                  250               840                  5.000
 x3                    x3          + 1.850                - 3.440
840                  750               750                  1.560
                                        3.440

"La resolución de problemas, en términos generales, es una forma de pensar en la que el estudiante muestra una diversidad de estrategias en los diferentes momentos del proceso de resolver algún problema. Por ejemplo, el estudiante puede usar diagramas, tablas, o gráficas para representar la información como un medio para entender el problema. El diseño de un plan y su implantación puede incluir el uso de métodos algebraicos, el descomponer el problema en problemas más simples, o el transportar el problema a otro contexto (geométrico o numérico). También, en la fase de revisión es importante analizar el significado de la solución, verificar las operaciones, y pensar en conexiones o extensiones del problema [...]" ( Santos, 1996)

Tal como se señala en el párrafo anterior, la actividad de resolución de problemas se relaciona con el desarrollo de diversas habilidades intelectuales, sociales de comunicación etc., características propias, aunque no exclusivas, de la actividad matemática y útiles para el desarrollo de un ciudadano. En esta perspectiva, y más ampliamente, desde el punto de vista educativo, podemos encontrar algunos autores que interpretan la resolución de problemas como fin, otros como proceso y en algunos casos como una habilidad.

En este sentido, en 1990, Orton señala que la resolución de problemas se concibe como generadora de un proceso a través del cual quien aprende combina elementos de conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una solución a una situación nueva. Actualmente se admite que, por lo general, las matemáticas son tanto un producto como un proceso, tanto un cuerpo organizado como una actividad creativa en que participa el que aprende.

En realidad, puede afirmarse que el propósito auténtico del aprendizaje de reglas, técnicas y contenidos es, generalmente, permitir al que aprende a operar en matemáticas y desde luego, resolver problemas. Así la resolución de problemas puede considerarse como la verdadera esencia de las matemáticas. (Ausubel,1963)

Gagné expresó en diversas ocasiones, que ésta es la forma más elevada del aprendizaje. Tras haber resuelto un problema, se ha aprendido. Puede que sólo haya aprendido a solucionar una variedad de problemas semejantes y quizás otros que poseen algunas características similares. Descartes lo expresó del siguiente modo: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para hacer otros problemas". Puede por eso preguntarse: ¿cuál es la diferencia entre resolución de problemas y el descubrimiento? Ambos requieren de un pensamiento que conduzca a la creación de algo que el que aprende no poseía antes.

                 La solución eficaz de un problema depende de que el alumno no sólo posea el conocimiento y las destrezas requeridas, sino que también sea capaz de utilizarlas y establecer una red o estructura. Aunque éste es un fenómeno plenamente entendido, implica la compresión de alguna relación anteriormente inadvertida dentro de las estructuras del conocimiento.

 

Se sabe también que resulta útil dar conscientemente vuelta el problema en la mente, probar líneas de actuación y traer así a primer plano, a toda una gama de técnicas y de métodos que pueden resultar apropiados. Se sabe además que sí, a pesar de lo anterior no se llega a una solución, puede sobrevenir después de un tiempo de alejamiento del problema, como si el subconsciente, libre ya de los apremios de los intentos conscientes por resolverlos, siguiera experimentando con combinaciones de elementos de la base de conocimientos.

Según Mialaret, hacer un problema supone para un niño "realizar realmente o en el pensamiento, una operación concreta y traducirla después por medio de una operación, y sabemos que este aprendizaje no se realiza sin esfuerzo". Esto pone de manifiesto la complejidad de la comprensión y resolución de problemas y por tanto de las dificultades que conlleva.

                En síntesis, la importancia principal de la resolución de problemas en la escuela   (entendiendo por problemas situaciones contextualizadas) radica en que el alumno aprenda a aplicar conocimientos y desarrollar habilidades intelectuales, sociales y de comunicación en este proceso de resolución, para prepararlos paulatinamente en desarrollar habilidades de modelización matemática de la realidad.